Jenseits von Zirkel und Lineal

Fast über die gesamte Geschichte der Geometrie hinweg gab es zwei Werkzeuge: einen Zirkel und ein Lineal. Mit ihnen konnten die Griechen einen Winkel halbieren, ein perfektes Fünfeck zeichnen und einen Großteil der Mathematik konstruieren, die wir noch heute lehren. Doch es gab Dinge, die sie nicht konnten, und drei Probleme im Besonderen widersetzten sich ihnen zweitausend Jahre lang.

Zwei davon — einen Winkel zu dritteln und einen Würfel zu verdoppeln — kann ein gefaltetes Blatt Papier lösen.

Warum Papier stärker ist

Ein Zirkel und ein Lineal können nur Gleichungen bis zum zweiten Grad lösen. Das ist ihre Obergrenze, und 1837 bewies Pierre Wantzel, dass das Dritteln eines beliebigen Winkels das Lösen einer kubischen Gleichung erfordert — einer Gleichung dritten Grades — was es für immer außer Reichweite rückt.

Das Falten von Papier hat diese Obergrenze nicht. Eine einzige Faltung kann so ausgeführt werden, dass sie zwei Bedingungen zugleich erfüllt — indem sie einen Punkt auf eine Linie bringt, während sie einen zweiten Punkt auf eine zweite Linie bringt — und dieser gleichzeitige Akt ist gleichbedeutend mit dem Lösen einer kubischen Gleichung. Die Regeln dessen, was eine Faltung leisten kann, wurden schließlich als die Huzita-Justin-Axiome niedergeschrieben, sieben Operationen, die die Geometrie des Origami ebenso definieren, wie Zirkel und Lineal die klassische Geometrie definieren.

Eine Einschränkung, da wir auf ihnen bestehen: Papier kann nicht alles. Es kann den Kreis nicht quadrieren — dieses Problem betrifft π, das keine endliche Konstruktion erreichen kann. Zwei der drei antiken Probleme fallen einer Faltung anheim. Das dritte nicht.

Die Frau, die es zuerst sah

Die Anerkennung für diese Entdeckung ist verworren, und ein Name verdient es, gerettet zu werden. Im Jahr 1936 zeigte die italienische Mathematikerin Margherita Piazzolla Beloch, dass eine einzige Faltung eine kubische Gleichung lösen kann — Jahrzehnte, bevor die Axiome formal formuliert wurden. Sie passte eine grafische Methode zum Lösen von Gleichungen, die auf Eduard Lill zurückgeht, zu einem Akt des Papierfaltens an und wurde damit die erste Person, die sah, dass Origami über Zirkel und Lineal hinausreicht.

Sie steht in den meisten Lehrbüchern nicht. Sie sollte es.