コンパスと定規を超えて

幾何学の歴史のほとんどを通じて、道具はふたつだった——コンパスと定規だ。それらを使って、ギリシャ人は角を二等分し、完全な正五角形を描き、いまなお私たちが教える数学の多くを組み立てることができた。だが、彼らにできないこともあった。とりわけ三つの問題が、二千年ものあいだ彼らをはねつけつづけた。

そのうちのふたつ——角の三等分と、立方体の倍積——を、一枚の折られた紙は解くことができる。

なぜ紙のほうが強いのか

コンパスと定規は、二次までの方程式しか解けない。それが天井であり、1837年にピエール・ヴァンツェルは、一般の角の三等分には三次方程式——三次の方程式——を解くことが必要だと証明した。それはこの問題を永遠に手の届かないところへ置いたのだ。

紙を折ることには、この天井がない。たった一度の折りで、ふたつの条件を同時に満たすことができる——ひとつの点をある線の上へ移しながら、二つ目の点を二つ目の線の上へ移すのだ——そしてその同時のふるまいは、三次方程式を解くことに等しい。折りになしうることの規則は、やがて 藤田–ジュスタンの公理 として書きとめられた。コンパスと定規が古典幾何学を定めるのと同じように、折り紙の幾何学を定める七つの操作である。

私たちは注意を欠かさないので、ひとつ断っておく——紙にすべてができるわけではない。円積問題は解けない——その問題は π を含み、いかなる有限の作図もそれには届かない。古代の三問題のうちふたつは折りに屈する。三つ目は屈しない。

それを最初に見抜いた女性

この発見の功績はもつれており、ひとつの名が救い出されるに値する。1936年、イタリアの数学者 マルゲリータ・ピアッツォラ・ベロク（Margherita Piazzolla Beloch） は、たった一度の折りが三次方程式を解けることを示した——公理が正式に述べられる数十年も前のことだ。彼女はエドゥアルト・リルによる方程式の図的解法を、紙を折るふるまいへと作り変え、そうすることで、折り紙がコンパスと定規を超えて届くことを見抜いた最初の人物となった。

彼女は、ほとんどの教科書に載っていない。載るべきなのだ。