Au-delà du compas et de la règle
Pendant la plus grande partie de l'histoire de la géométrie, il y avait deux outils : un compas et une règle. Avec eux, les Grecs pouvaient bissecter un angle, tracer un pentagone parfait et construire une grande partie des mathématiques que nous enseignons encore. Mais il y avait des choses qu'ils ne pouvaient pas faire, et trois problèmes en particulier leur ont résisté pendant deux mille ans.
Deux d'entre eux — trisecter un angle et dupliquer un cube — une feuille de papier pliée peut les résoudre.
Pourquoi le papier est plus puissant
Un compas et une règle ne peuvent résoudre que des équations jusqu'au deuxième degré. C'est leur plafond, et en 1837 Pierre Wantzel a prouvé que trisecter un angle quelconque exige de résoudre une cubique — une équation du troisième degré — ce qui la place à jamais hors de portée.
Le pliage du papier n'a pas ce plafond. Un seul pli peut être conçu pour satisfaire deux conditions à la fois — amener un point sur une ligne tout en amenant un second point sur une seconde ligne — et cet acte simultané équivaut à résoudre une cubique. Les règles de ce qu'un pli peut faire ont fini par être consignées sous le nom d'axiomes de Huzita–Justin, sept opérations qui définissent la géométrie de l'origami comme le compas et la règle définissent la géométrie classique.
Une mise en garde, puisque nous y tenons : le papier ne peut pas tout faire. Il ne peut pas quarrer le cercle — ce problème fait intervenir π, qu'aucune construction finie ne peut atteindre. Deux des trois problèmes anciens cèdent à un pli. Le troisième non.
La femme qui l'a vu la première
Le crédit de cette découverte est embrouillé, et un nom mérite d'être sauvé. En 1936, la mathématicienne italienne Margherita Piazzolla Beloch a montré qu'un seul pli pouvait résoudre une équation cubique — des décennies avant que les axiomes ne soient formellement énoncés. Elle a adapté une méthode graphique de résolution des équations, due à Eduard Lill, en un acte de pliage du papier, et ce faisant elle est devenue la première personne à voir que l'origami dépasse le compas et la règle.
Elle ne figure pas dans la plupart des manuels. Elle le devrait.