超越圆规与直尺

在几何学的大部分历史里，工具只有两样：圆规和直尺。凭着它们，古希腊人能平分一个角、画出一个完美的五边形，并构建出我们至今仍在教授的大量数学。但有些事他们做不到，其中尤有三个问题，抵抗了他们两千年之久。

其中两个——三等分一个角，以及倍立方——一张折叠的纸就能解决。

为什么纸更强

圆规和直尺只能求解不超过二次的方程。那就是它们的上限。1837年，皮埃尔·万采尔（Pierre Wantzel）证明，三等分一个一般的角需要求解一个三次方程——一个三次的方程——这便把它永远置于二者的力所不及之外。

折纸没有这个上限。可以让单单一个折叠同时满足两个条件——把一个点落到一条线上，同时把第二个点落到第二条线上——而这一同时之举，等价于求解一个三次方程。折叠能做什么，其规则最终被写成了藤田－贾斯汀公理（Huzita–Justin axioms），七条操作，如同圆规和直尺定义古典几何那样定义了折纸几何。

有一点需要提醒，既然我们坚持如此：纸并非无所不能。它无法化圆为方——那个问题牵涉到 π，而没有任何有限的构造能够抵达它。三个古老问题中的两个败于一个折叠。第三个则不然。

最先看见它的那位女性

这项发现的归属错综复杂，其中一个名字值得被打捞出来。1936年，意大利数学家玛格丽塔·皮亚佐拉·贝洛赫（Margherita Piazzolla Beloch）证明，单单一个折叠就能求解一个三次方程——这比那些公理被正式陈述早了数十年。她把爱德华·利尔（Eduard Lill）提出的一种求解方程的图解方法，改造成一个折纸的动作，并由此成为第一个看见折纸能够触及圆规与直尺之外的人。

她不在大多数教科书里。她本该在。