The Theorem

どんな折り目の模様も平らに折れるわけではない。一点で交わる数本の線を引き、そのひとつずつに山か谷を割りあてる。すると、紙がただ拒むことに気づくかもしれない——たわみ、あらがい、伏せようとしないのだ。

前もって知る方法がある。折り目が交わるどんな一点のまわりでも、線と線のあいだの角度をはかる。点のまわりをめぐって、ひとつおきに角を足していく——一番目、三番目、五番目。それから、飛ばしたものを足す。もし紙が平らに折れるなら、そのふたつの和は等しく——しかもそれぞれがちょうど半回転、180度になる。

それが 川崎の定理 であり、その単純さは奇跡に近い。ひとつの点が、紙の残りについて何も知らずに、自分がいつか平らになれるかどうかの答えを、その角度のうちに抱いているのだ。

その限界についても正直であろう——私たちはここでは常にそうする。川崎の判定は、一点については厳密だ。だが、何百もの点をもつ模様全体となると、より難しい問いになる。層どうしがたがいを突き抜けてしまわないようにもしなければならず、その問題は、数学者たちが1996年に証明したように、本当に難しい——近道のない種類の難しさだ。模様は、あらゆる点で判定を通っても、全体としては失敗しうる。

だからこそ、私たちが公開するすべての折りは、あなたの手に届く前に、一点ずつ確かめられている。平らに伏せられないものには、名前が与えられない。

この折りを The Theorem（定理）と名づけたのは、その小さな驚きのためだ——ひとつの点が、みずからの未来を知っているということの。

歌も同じようにつくられている——ひとつの規則を、単純に述べ、そのとおりにたどっていく。